マンデルブロ(Mandelbrot)

マンデルブロ テクスチャについて

マンデルブロ(およびそれに関連した集合)の評価は、反復に基づいています。 これは複雑なプレーン z_n+1 = z_n² + c を表しており、この中で z₀ = 0 から開始して z_n の絶対値がバインドされる間、反復します。

すなわち、UV 空間に 1 つのポイントを持ち、そのポイントが領域の内側にあるか外側にあるかを判断したい場合は、そのポイントで関数を反復させて(関数の出力を取り、関数を再び適用して)その値を検証します。 数値がエスケープ半径の中にあるとき、反復回数に関係なくそれは領域の内側にあります。 また、数値がエスケープ半径の外にあるとき、それは領域の外側にあります。

以下の図に、UV 空間中のポイントの位置に応じた様々な反復の挙動を示します。 ポイントが領域の境界付近に存在する場合、反復の回数は多くなり、反復パターンが形成されますが、原点から固定された距離の範囲内に留まります。 しかし、ポイントが領域の内側または外側に存在するとき、反復により非常に単純なカーブが生成されます。

複数のシェーディング方法からいずれかを選択することができます。 ポイントが領域の内側にあるのか、または外側にあるのかに基づいてシェーディングを行ったときは、フラットな 2 色テクスチャのみが存在します。 代わりに、関数がいかに早くエスケープするか落ち着くか(すなわち、実際の反復回数)を色の基盤にすることができます。 その他の方法として、反復を行う間に UV 空間でポイントが沿うパス(またはオービット)を評価すること、このパスの様々なプロパティを使用して色をポイントにマップすることなどが挙げられます(例えば、パスが原点、または U または V 軸にどのくらいまで接近するのかについての評価)。

集合の境界から離れた位置では、お互いに接近したポイントは同様のパスに沿って移動するためシェーディングはゆっくりと変化します。 しかし、境界付近では、反復の間にお互いに接近したポイントが全く異なるパスを描く可能性があり、フラクタルシェーディングパターンが現れます。

他のより複雑なフラクタルのために、Maya は反復が開始する前に(もう一つのノンリニア関数を用いて) UV 空間を再マップします。 Maya が別のテクスチャをマンデルブロ集合にマップするとき、Maya はパスの方向と速度を評価してそのポイントにおけるテクスチャのレイヤコピーのスケールおよび回転を行います。

マンデルブロ アトリビュート

マンデルブロ タイプ(Mandelbrot Type)

4 つのフラクタル評価タイプからいずれかを選択してください。

• マンデルブロ集合(Mandelbrot Set):これは標準のマンデルブロ集合です。 マンデルブロ 3D (Mandelbrot 3D)ノードを選択すると、マンデルブロ集合(Mandelbrot Set)はマンデルバルブを生成します。
  
• マンデルボックス(Mandelbox):これはボックスに似たシェイプを持つフラクタルで、マンデルブロ集合(Mandelbrot Set)と複数のプロパティを共有します。 この評価タイプは再帰的な折り畳み動作を実行して面白い幾何学パターンを生成します。 この評価タイプを使用して、マンデルブロ集合(Mandelbrot set)と比較してより人工的に見えるシェイプを生成します。 ボックス半径(Box Radius),ボックス最小半径(Box Min Radius)、およびボックスの比率(Box Ratio)アトリビュートを使用してその評価を制御してください。
  
• ジュリア集合(Julia Set):この評価方法を用いて、渦巻状の類似したパターンを生成してください。 ジュリア U (Julia U)およびジュリア V (Julia V)アトリビュートを使用してそのシェイプを制御してください。 ジュリア集合のジュリア U (Julia U)およびジュリア V (Julia V)アトリビュートを入力 UV 位置にマップして、標準のマンデルブロ集合(Mandelbrot Set)には考えられ得るすべてのジュリア集合が含まれています。
  
• ジュリア集合とボックス(Box with Julia Set):これはジュリア集合関数とマンデルボックス関数の組み合わせです。 これは反復に伴って行われるミラーリングまたは折り畳みです。 ジュリア U (Julia U)およびジュリア V (Julia V)アトリビュートと共にマンデルボックスパラメータを変更することで、多様なパターンを生成することが可能です。
  
• マンデルブロ集合とボックス(Box with Mandelbrot Set):このオプションはマンデルボックス(Mandelbox)とマンデルブロ(Mandelbrot)の関数を組み合わせます。

マンデルブロ シェード方法(Mandelbrot Shade Method)

マンデルブロ構造のための様々なシェーディングオプションからいずれかを選択してください。

• クラシック(Classic):シェーディングは、エスケープ半径を超える前に実施される反復の総数に基づいています。
• スムーズ(Smooth):クラシック集合と同様に、縞模様の発生を避けるため、反復間の色のスムーズ トランジションをもたらします。
• 最小半径(Minimum Radius):シェーディングは、すべての反復の中で最小の半径に基づいています。
• エスケープ半径(Escape Radius):シェーディングは、最終の反復の中の半径に基づいています。
• ラインのみ(Lines Only):バックグラウンドが設定されることなく、ポイント、ストーク、および円のみが描かれます。

マンデルブロ内部方法

集合の内側に存在する領域のためのベースマンデルブロ集合をシェーディングするための様々なオプションからいずれかを選択してください。

• ゼロ(Zero):集合の中の領域を固定されたゼロ値に設定します。
• 最大反復回数(Max Iteration):カラー ランプの最も右側のインデックスとなる最大反復の集合の中にある領域のシェーディングを行います。 これはディスプレイスメント マップとして用いられるとき、内側のエッジに一致します。 これは、関数が収束する領域です。
• 内部シェード(Shaded Inside):半径に基づいて内部値のスムーズ シェーディングを行います。 ポイント、円、およびストークが内側に描かれます。
• ラインなしシェード(Shaded Without Lines):半径に基づいて内部値のスムーズ シェーディングを行いますが、ポイント、円、およびストークは外側のみに描かれます。
• 複数のライン :ポイント、円、およびストークを内側に適用しますが、その他のシェーディングは行いません。
• 内側のラインのみ(Inner Lines Only):ポイント、円、およびストークを内側に適用しますが、集合の外側の領域には適用しません。

ズーム倍率(Zoom Factor)

このアトリビュートを用いて拡大レベルを設定します。 実際のズームは、2をズーム係数(Zoom Factor)で累乗した数値です。 このため、2 のズーム係数(Zoom Factor)は 4 (2*2)のズームを生み出し、3 のズーム係数(Zoom Factor)は 8 (2*2*2)ズームを生み出します。 この結果、均一なズーム率となります。

センター U (Center U),センター V (Center V)

ビュー UV 座標の中心を設定します。 より詳細な制御を行うため、0 から 1 の領域は 0 から 100 として再マップされます。 マンデルブロ 3D (Mandelbrot 3D)ノードのために、X、Y、Z 座標が用いられます。

詳細オフセット U (Fine Offset U),詳細オフセット V (Fine Offset V) (マンデルブロ 2D ノード専用)

このアトリビュートによって、ズームに対するセンター U (Center U)およびセンター V (Center V)の位置がオフセットされ、高いズームレベルでより詳細な制御が可能になります。

深度(Depth)

このアトリビュートを用いて、マンデルブロテクスチャを生成するために実施される計算の量を判断します。 フラクタルテクスチャは、反復的かつ数学的なプロセスを通して生成されます。 反復の回数を増やせばより詳細なフラクタルが生成されますが、計算時間がより長くなります。 深度(Depth)の値が大きければ、それに応じてマンデルブロ集合の境界領域をより良好に解決することができます。 フラクタルの中にズームすると、より高い精度と緻密さを達成するためにより大きな深度(Depth)の値が必要となります。

ローブ(Lobes)

マンデルブロ集合フラクタルの中に存在するローブの数を判断します。 標準マンデルブロ集合は 2 乗でローブ 1 つになります。 この数値を高めてより多くのローブを生成します。 より大きなローブ(Lobes)設定を用いることで、マンデルバルブのためにより良い結果を得ることができます。

エスケープ半径(Escape Radius)

エスケープ半径(Escape Radius)の超過が起きるとき、反復が停止します。 クラシックマンデルブロ集合のために、2 (以上)の値を用います。 しかし、集合上のいくつかの変動では、反復をより多くすると便利です。 チェッカーの効果で、値をより高くすると帯の目がより詰まります。 2 未満の値を用いて面白い効果を生み出すことも可能です。

リーフ エフェクト(Leaf Effect)

このアトリビュートを使って、葉を生成します。

チェッカー

このアトリビュートを使って、交互のパターンを生成します。 エスケープ半径(Escape Radius)を用いてチェッカーパターンの目の詰まり具合を決定します。 最良の結果を得るために、0 から 0.5 までの値を使用してください。

ポイント

このアトリビュートを使用してドットを生成します。 ライン オフセット U (Line Offset U)およびライン オフセット V (Line Offset V)のアトリビュートは、ポイントの位置を制御します。 ポイントの幅を広げるには、 フォーカス を小さくします。

円(Circles)

このアトリビュートを用いて、各反復の中に円を生成します。

円の半径(Circle Radius)

円の大きさを制御します。

円のサイズの比率(Circle Size Ratio)

反復毎における円の半径が変化率を制御します。 たとえば、この比率が 1 未満であると、円は反復毎に小さくなります。 このアトリビュートを用いて、一定範囲の円のサイズを得ます。

ストーク U (Stalks U),ストーク V (Stalks V)

これらのアトリビュートを用いてピックオーバーストークを生成します。 ピックオーバーストークは、茎状の構造を生成するために U と V (U and V)軸までの距離を用いることで生成されます。 これらのアトリビュートを用いて軸の位置をシフトします。

ライン オフセット U (Line Offset U),ライン オフセット V (Line Offset V)

これらのアトリビュートを用いて、ポイントとストークの位置をシフトします。

ライン オフセットの比率(Line Offset Ratio)

このアトリビュートは、反復毎にラインオフセットが変化する率を制御します。 このアトリビュートに効果を持たせるため、ライン オフセット U (Line Offset U)およびライン オフセット V (Line Offset V)の値はゼロ以外であるべきです。 オフセットは、各反復の中の比で乗算されます。 この比が 1 を超えるとき、オフセットは反復毎に大きくなります。 この比が 1 未満であるとき、オフセットは反復毎に小さくなります。

ラインの焦点(Line Focus)

このアトリビュートは円とストークのラインの鮮明度を制御します。 数値が大きくなると、これらはより細くなります。

ラインのブレンド(Line Blending)

このアトリビュートは、円、ポイント、およびストークの間にスムーズな合流地点を作ります。 この効果を調整するときは、フォーカスを高めることが必要となる可能性があります。

ジュリア U (Julia U),ジュリア V (Julia V)

ジュリア U (Julia U)は複素数の最初のコンポーネントで、ジュリア V (Julia V)は複素数の 2 つ目の、または仮想的なコンポーネントで、ジュリア集合を定義するために用いられます。 これらは共に、複素平面における座標となります。

フルマンデルブロ集合はこの座標を UV 座標に設定するため、可能なすべてのジュリア集合を含んでいます。 しかし、ジュリア集合のためにこの座標を指定しなければなりません。

ボックス半径(Box Radius)

このアトリビュートを用いて、マンデルボックスと複合型評価タイプのために各反復における 1 番目の半径を設定します。

ボックス最小半径(Box Min Radius)

このアトリビュートを用いて、マンデルボックスと複合型評価タイプのために各反復における最小半径を設定します。

ボックスの比率(Box Ratio)

このアトリビュートを用いて、反復毎に半径がスケールされる規模を制御し、これにより反復間の大きさの比率が決定付けられます。 これはスケール アトリビュートとして知られます。

フォーカス(Focus)

フォーカスは、セットに対するカラー マップの詰まり具合を決定付けます。 クローズアップズームのために、より高いフォーカスを用いてカラーを集合の境界により近づけることができます。 フォーカスは、オービット マッピング(オービット マッピングを参照)が使用されるときにカラー ランプのマッピングに影響を与えるため、このアトリビュートを用いて深度に応じてカラーが変化する率を制御することができます。

Shift キー

シフト(Shift)は、カラーマップにインデックスを付ける前にマンデルブロ関数の出力値をオフセットします。 シフトをアニメートして、カラーのフローをアニメートすることができます。

振幅(Amplitude)

振幅(Amplitude)は、マンデルブロ関数の出力値をアルファとカラー ランプにマップする前にそれを乗算します。 振幅が大きい場合、いくつかの値がランプの範囲外に位置する可能性があります。 これらの値は、ラップ振幅(Wrap Amplitude)アトリビュートに基づくクランプまたはラップとなります。 このラッピングは、ランプ インデックスが数個しかない数多くの帯を作る際に役立ちます。

ラップ振幅(Wrap Amplitude)

ラップ振幅(Wrap Amplitude)は、1.0 を超えるマンデルブロ値のラッピングを可能にします。振幅が大きいとき、これによりランプが反復し、数個のランプ インデックスを持つ数多くの帯が発生します。

カラー

このセクションを用いて、マンデルブロ関数の出力値が再マップされるカラー値(ランプ)の範囲を定義します。

選択した位置(Selected Position)

ランプ内のアクティブなカラー エントリの位置。

選択したカラー(Selected Color)

アクティブなカラー エントリのカラー。

補間(Interpolation)

ランプ テクスチャのカラーをブレンドする方法を設定します。既定はリニア(Linear)です。

• なし(None):補間は行われません。異なるカラーはそれぞれ帯状に最終的なテクスチャに表示されます。

• リニア(Linear):値は RGB カラー スペースでリニアに補間されます。

• スムーズ(Smooth):値はベル カーブに沿って補間されます。ランプの各カラーが周囲の領域に適用され、それから隣の色とすばやくブレンドされます。

• スプライン(Spline):隣接する指数を考慮することで、よりスムーズなエフェクトを得られます。

値

このセクションを用いて、マンデルブロ関数の出力値が再マップされるアルファ値(ランプ)の範囲を定義します。

選択した位置(Selected Position)

ランプ内のアクティブなエントリの位置。

選択した値(Selected Value)

アクティブなエントリの数値。

補間(Interpolation)

中間値の計算方法を制御します。 既定はリニア(Linear)です。

• なし(None):補間は行われません。異なる数値はそれぞれ帯状に最終的なテクスチャに表示されます。

• リニア(Linear):値はリニアに補間されます。

• スムーズ(Smooth):値はベル カーブに沿って補間されます。ランプの各値が周囲の領域に適用され、それから隣の値とすばやくブレンドされます。

• スプライン(Spline):隣接する指数を考慮することで、よりスムーズなエフェクトを得られます。

オービット マップ(Orbit Map) (マンデルブロ 2D ノード専用)

この特性を利用して、テクスチャを集合の各反復のローカル空間にマップします。 アルファの付いたテクスチャを使用して、マップされたテクスチャ上の UV ラッピングをオフにします。 UV ラッピングを使用する場合は、適用範囲を 1 未満に設定し、移動を使用してマップのセンタリングを行います。 さらに、ライン オフセット U (Line Offset U)およびライン オフセット V (Line Offset V)の数値を利用して、テクスチャをより良い位置に配置することができます。

オービット マッピング(Orbit Mapping)

• オフ(Off):テクスチャリングなし。
• フロントからバックへ(Front to Back):オービット マップが使用され、より早い反復が前側に示されます。
• バックからフロントへ(Back to Front):オービット マップが使用され、より後の反復が前側に示されます。

注:フロントからバックへ(Front to Back)マッピングを使用するとき、大きなエスケープ半径(Escape Radius)が早い反復(大きな画像が前側)を引き起こして後の反復(より小さい画像が後側)を不明瞭にする可能性があります。 しかし、小さく詳細な画像(後の反復)が前側に示されるため、バックからフロントへ(Back to Front)のマッピングにとってこれは問題とはなりません。 このため、バックからフロントへ(Back to Front)マッピングと共に高いエスケープ半径(Escape Radius)を使用することができます。 後の反復の細かいディテールをより良く見えるように対比を与えるために、ティント(Tint) オービット マップのカラー 方法が有用である可能性があります。 詳細については、エスケープ半径を参照してください。

オービット マップのカラー(Orbit Map Coloring)

オービット マップのカラーにより、反復の深度に基づきオービット テクスチャのカラーリングを行うことができます。

• フォグ(Fog):徐々にブレンドしてカラー ランプ値のカラーリングを行います。 フロントからバックへ(Front to Back)マッピングを使用するときは、より早い反復(より大きな画像)が前側に示され、テクスチャ カラーにマップします。 より後の反復(より小さい画像)が後側に示され、右側のランプ インデックスにマップします。 バックからフロントへ(Back to Front)マッピングを使用するときは、より早い反復(より大きな画像)が後側に示され、右側のランプ インデックスにマップします。 より後の反復(より小さい画像)が前側に示され、左側のランプ インデックスにマップします。
• ティント(Tint):テクスチャの色をランプの色で掛け合わせます。 軽くぼかす場合は、白色に近いランプの色を選びます。

内破(Implode)

内破(Implode)は、内破のセンター(Implode Center)で定義したポイントを中心に同心円状にマンデルブロ関数をワープさせます。 値が 0 の場合は効果はありませんが、1.0 にすると、ノイズ関数を球面投影した、星形のエフェクトが作成されます。 負の値を使うと、ノイズを内側ではなく外側に歪めることができます。

内破のセンター(Implode Center)

このアトリビュートを使用して、破裂を集中させる中心の UV ポイント(マンデルブロ 3D (Mandelbrot 3D)のためのX、Y、Z ポイント)を定義します。